Conversão de energia durante vibrações mecânicas. Vibrações livres e forçadas

Varia ao longo do tempo de acordo com uma lei sinusoidal:

Onde X- o valor da quantidade flutuante no momento t, UM- amplitude, ω - frequência circular, φ — fase inicial de oscilações, ( φt + φ ) - fase completa de oscilações. Ao mesmo tempo, os valores UM, ω E φ - permanente.

Para vibrações mecânicas de magnitude flutuante X são, em particular, deslocamento e velocidade, para vibrações elétricas – tensão e corrente.

As oscilações harmônicas ocupam um lugar especial entre todos os tipos de oscilações, pois é o único tipo de oscilação cuja forma não se distorce ao passar por algum meio homogêneo, ou seja, as ondas que se propagam a partir da fonte das oscilações harmônicas também serão harmônicas. Qualquer oscilação não harmônica pode ser representada como uma soma (integral) de várias oscilações harmônicas (na forma de um espectro de oscilações harmônicas).

Transformações de energia durante vibrações harmônicas.

Durante o processo de oscilação, ocorre transferência de energia potencial Wp para cinético Semana e vice-versa. Na posição de desvio máximo da posição de equilíbrio, a energia potencial é máxima, a energia cinética é zero. À medida que retorna à posição de equilíbrio, a velocidade do corpo oscilante aumenta, e com ela a energia cinética também aumenta, atingindo um máximo na posição de equilíbrio. A energia potencial então cai para zero. O movimento adicional ocorre com uma diminuição na velocidade, que cai para zero quando a deflexão atinge seu segundo máximo. A energia potencial aqui aumenta até seu valor inicial (máximo) (na ausência de atrito). Assim, as oscilações das energias cinética e potencial ocorrem com o dobro da frequência (em comparação com as oscilações do próprio pêndulo) e estão em antifase (ou seja, há um deslocamento de fase entre elas igual a π ). Energia vibratória total C permanece inalterado. Para um corpo oscilando sob a ação de uma força elástica, é igual a:

Onde eu— velocidade máxima do corpo (em posição de equilíbrio), x m = UM- amplitude.

Devido à presença de atrito e resistência do meio, as vibrações livres são atenuadas: sua energia e amplitude diminuem com o tempo. Portanto, na prática, oscilações forçadas são frequentemente utilizadas em vez de oscilações livres.

Consideremos a transformação da energia durante as oscilações harmônicas em dois casos: não há atrito no sistema; há atrito no sistema.

Transformações de energia em sistemas sem atrito. Ao deslocar a bola presa à mola (ver Fig. 3.3) para a direita por uma distância x m, transmitimos energia potencial ao sistema oscilatório:

À medida que a bola se move para a esquerda, a deformação da mola diminui e a energia potencial do sistema diminui. Mas ao mesmo tempo a velocidade aumenta e, conseqüentemente, a energia cinética aumenta. No momento em que a bola passa pela posição de equilíbrio, a energia potencial do sistema oscilatório torna-se igual a zero (W p = 0 em x = 0). A energia cinética atinge o seu máximo.

Depois de passar pela posição de equilíbrio, a velocidade da bola começa a diminuir. Consequentemente, a energia cinética também diminui. A energia potencial do sistema aumenta novamente. No ponto mais à esquerda atinge o máximo e a energia cinética torna-se zero. Assim, durante as oscilações, ocorre periodicamente a transição da energia potencial em energia cinética e vice-versa. Não é difícil ver que as mesmas transformações de energia mecânica de um tipo para outro ocorrem no caso de um pêndulo matemático.

A energia mecânica total durante as oscilações de um corpo preso a uma mola é igual à soma das energias cinética e potencial do sistema oscilatório:

As energias cinética e potencial mudam periodicamente. Mas a energia mecânica total de um sistema isolado, no qual não existem forças de resistência, permanece (de acordo com a lei da conservação da energia mecânica) inalterada. É igual à energia potencial no momento do desvio máximo da posição de equilíbrio ou à energia cinética no momento em que o corpo passa da posição de equilíbrio:

A energia de um corpo oscilante é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude das oscilações coordenadas ou ao quadrado da amplitude das oscilações de velocidade (ver fórmula (3.26)).

As vibrações livres de uma massa presa a uma mola ou a um pêndulo são harmônicas somente se não houver atrito. Mas as forças de atrito, ou, mais precisamente, as forças de resistência ambientais, embora talvez pequenas, actuam sempre sobre um corpo oscilante.

As forças de resistência realizam trabalho negativo e, assim, reduzem a energia mecânica do sistema. Portanto, com o tempo, os desvios máximos do corpo da posição de equilíbrio tornam-se cada vez menores. Eventualmente, após o esgotamento do fornecimento de energia mecânica, as oscilações irão parar completamente. Oscilações na presença de forças de resistência são desvanecimento.

Um gráfico da coordenada do corpo versus tempo durante oscilações amortecidas é mostrado na Figura 3.10. Um gráfico semelhante pode ser desenhado pelo próprio corpo oscilante, por exemplo, um pêndulo.

A Figura 3.11 mostra um pêndulo com caixa de areia. Um pêndulo, sobre uma folha de papelão movendo-se uniformemente por baixo dele, desenha um gráfico de suas coordenadas em função do tempo com um fluxo de areia. Este é um método simples de varredura temporal das oscilações, fornecendo uma imagem bastante completa do processo de movimento oscilatório. Com uma resistência pequena, o amortecimento das oscilações durante vários períodos é pequeno. Se uma folha de papel grosso for presa aos fios de suspensão para aumentar a força de resistência, a atenuação se tornará significativa.

Os carros usam amortecedores especiais para amortecer as vibrações do corpo ao dirigir em estradas irregulares. Quando o corpo oscila, o pistão associado se move em um cilindro cheio de líquido. O líquido flui pelos orifícios do pistão, o que leva ao aparecimento de grandes forças de resistência e à rápida atenuação das vibrações.

A energia de um corpo oscilante na ausência de forças de atrito permanece inalterada.

Se as forças de resistência atuam sobre os corpos do sistema, as oscilações são amortecidas.

Pêndulo matemáticoé um ponto material suspenso em um fio leve e inextensível localizado no campo gravitacional da Terra. Um pêndulo matemático é um modelo idealizado que descreve corretamente um pêndulo real apenas sob certas condições. Um pêndulo real pode ser considerado matemático se o comprimento do fio for muito maior que o tamanho do corpo nele suspenso, a massa do fio for insignificante em comparação com a massa do corpo e as deformações do fio forem tão pequenas que eles podem ser completamente negligenciados.

O sistema oscilatório, neste caso, é formado por um fio, um corpo a ele ligado e a Terra, sem o qual este sistema não poderia servir de pêndulo.

Onde UM X – aceleração, g – aceleração de queda livre, X- deslocamento, eu– comprimento do fio do pêndulo.

Esta equação é chamada equação de oscilações livres de um pêndulo matemático. Descreve corretamente as vibrações em questão apenas quando as seguintes suposições são atendidas:

2) são consideradas apenas pequenas oscilações do pêndulo com um pequeno ângulo de oscilação.

As vibrações livres de quaisquer sistemas são descritas em todos os casos por equações semelhantes.

As causas das oscilações livres de um pêndulo matemático são:

1. O efeito da tensão e da gravidade sobre o pêndulo, impedindo-o de sair da posição de equilíbrio e forçando-o a cair novamente.

2. A inércia do pêndulo, pela qual ele, mantendo sua velocidade, não para na posição de equilíbrio, mas passa por ela ainda mais.

Período de oscilações livres de um pêndulo matemático

O período de oscilação livre de um pêndulo matemático não depende de sua massa, mas é determinado apenas pelo comprimento do fio e pela aceleração da gravidade no local onde o pêndulo está localizado.

Conversão de energia durante oscilações harmônicas

Durante as oscilações harmônicas de um pêndulo de mola, a energia potencial de um corpo elasticamente deformado é convertida em sua energia cinética, onde k – coeficiente de elasticidade, X - módulo de deslocamento do pêndulo da posição de equilíbrio, eu- massa do pêndulo, v- sua velocidade. De acordo com a equação de vibração harmônica:

, .

Energia total de um pêndulo de mola:

.

Energia total para um pêndulo matemático:

No caso de um pêndulo matemático

As transformações de energia durante as oscilações de um pêndulo de mola ocorrem de acordo com a lei da conservação da energia mecânica ( ). Quando um pêndulo se move para baixo ou para cima a partir da sua posição de equilíbrio, a sua energia potencial aumenta e a sua energia cinética diminui. Quando o pêndulo passa pela posição de equilíbrio ( X= 0), sua energia potencial é zero e a energia cinética do pêndulo tem o maior valor, igual à sua energia total.

Assim, no processo de oscilações livres do pêndulo, sua energia potencial se transforma em cinética, a cinética em potencial, a potencial novamente em cinética, etc. Mas a energia mecânica total permanece inalterada.

Vibrações forçadas. Ressonância.

As oscilações que ocorrem sob a influência de uma força periódica externa são chamadas oscilações forçadas. Uma força periódica externa, chamada força motriz, transmite energia adicional ao sistema oscilatório, que vai repor as perdas de energia ocorridas devido ao atrito. Se a força motriz mudar ao longo do tempo de acordo com a lei do seno ou do cosseno, as oscilações forçadas serão harmônicas e não amortecidas.

Ao contrário das oscilações livres, quando o sistema recebe energia apenas uma vez (quando o sistema é desequilibrado), no caso de oscilações forçadas o sistema absorve esta energia continuamente de uma fonte de força periódica externa. Essa energia compensa as perdas gastas na superação do atrito e, portanto, a energia total do sistema oscilatório ainda permanece inalterada.

A frequência das oscilações forçadas é igual à frequência da força motriz. No caso em que a frequência da força motriz υ coincide com a frequência natural do sistema oscilatório υ 0 , há um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas - ressonância. A ressonância ocorre devido ao fato de que quando υ = υ 0 a força externa, agindo em sincronia com vibrações livres, está sempre alinhada com a velocidade do corpo oscilante e realiza um trabalho positivo: a energia do corpo oscilante aumenta e a amplitude de suas oscilações torna-se grande. Gráfico da amplitude das oscilações forçadas UM T na frequência da força motriz υ apresentado na figura, este gráfico é chamado de curva de ressonância:

O fenômeno da ressonância desempenha um papel importante em vários processos naturais, científicos e industriais. Por exemplo, é necessário ter em conta o fenómeno da ressonância ao projetar pontes, edifícios e outras estruturas que sofrem vibrações sob carga, caso contrário, sob certas condições, essas estruturas podem ser destruídas.

Consideremos a transformação de energia durante as oscilações harmônicas para dois casos: não há atrito no sistema; Há atrito no sistema. Conversão de energia em sistemas sem atrito. Ao mover a bola presa à mola para a direita por uma distância xm, transmitimos uma reserva de energia potencial ao sistema oscilatório: Quando a bola se move para a esquerda, a deformação da mola torna-se menor e a energia potencial diminui. Mas ao mesmo tempo a velocidade aumenta e, conseqüentemente, a energia cinética aumenta. No momento em que a bola passa pela posição de equilíbrio, a energia potencial torna-se mínima. A energia cinética atinge o seu máximo. Depois de passar pela posição de equilíbrio, a velocidade começa a diminuir. Consequentemente, a energia cinética também diminui. A energia potencial aumenta novamente. No ponto mais à esquerda atinge o máximo e a energia cinética torna-se zero. Assim, durante as oscilações, ocorre periodicamente a transição da energia potencial em energia cinética e vice-versa. O mesmo pode ser visto nas oscilações de um pêndulo. A energia mecânica total durante as oscilações de um corpo preso a uma mola é igual à soma das energias cinética e potencial: As energias cinética e potencial mudam periodicamente. Mas a energia mecânica total de um sistema fechado, no qual não existem forças de resistência, permanece inalterada de acordo com a lei da conservação da energia. É igual à energia potencial no momento do desvio máximo da posição de equilíbrio ou à energia cinética no momento em que o corpo passa pela posição de equilíbrio: A energia de um corpo oscilante é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude de oscilações coordenadas ou o quadrado da amplitude das oscilações de velocidade. As vibrações livres de uma massa presa a uma mola ou a um pêndulo são harmônicas somente se não houver atrito. Mas forças de atrito, ou, mais precisamente, forças. a resistência, embora talvez pequena, sempre atua sobre um corpo oscilante. As forças de resistência realizam trabalho negativo e, assim, reduzem a energia mecânica do sistema. Portanto, com o tempo, os desvios máximos do corpo da posição de equilíbrio tornam-se cada vez menores. Eventualmente, após o esgotamento do fornecimento de energia mecânica, as oscilações irão parar completamente. As oscilações na presença de forças de resistência são amortecidas. Um gráfico da dependência das coordenadas do corpo em relação ao tempo durante oscilações amortecidas é mostrado na Figura 63. Um gráfico semelhante pode ser desenhado pelo próprio corpo oscilante, por exemplo, um pêndulo. A Figura 64 mostra um pêndulo com caixa de areia. Um pêndulo, sobre uma folha de papelão movendo-se uniformemente por baixo dele, desenha um gráfico de coordenadas versus tempo com um fluxo de areia. Este é um método simples de oscilações de varredura temporal, fornecendo uma imagem muito completa do processo de movimento oscilatório. Com uma resistência pequena, o amortecimento das oscilações durante vários períodos é pequeno. Se uma folha de papel grosso for presa aos fios de suspensão para aumentar a força de resistência, a atenuação se tornará significativa. Os carros usam amortecedores especiais para amortecer as vibrações do corpo nas molas ao dirigir em estradas irregulares. Quando o corpo oscila, o pistão associado se move em um cilindro cheio de líquido. O líquido flui pelos orifícios do pistão, o que leva ao aparecimento de grandes forças de resistência e à rápida atenuação das vibrações. A energia de um corpo oscilante na ausência de forças de atrito permanece inalterada. Se houver forças de resistência no sistema, as oscilações serão amortecidas.

Transformações de energia durante vibrações harmônicas.

Quando um pêndulo matemático oscila, a energia total do sistema consiste na energia cinética de um ponto material (bola) e na energia potencial de um ponto material no campo de forças gravitacionais. Quando um pêndulo de mola oscila, a energia total consiste na energia cinética da bola e na energia potencial de deformação elástica da mola:

Ao passar pela posição de equilíbrio tanto no primeiro quanto no segundo pêndulo, a energia cinética da bola atinge seu valor máximo e a energia potencial do sistema é zero. Durante as oscilações, ocorre uma transformação periódica da energia cinética em energia potencial do sistema, enquanto a energia total do sistema permanece inalterada se não houver forças de resistência (lei da conservação da energia mecânica). Por exemplo, para um pêndulo de mola podemos escrever:

Em um circuito oscilatório (Fig. 14.1.c), a energia total do sistema é a soma da energia de um capacitor carregado (energia do campo elétrico) e da energia de uma bobina com corrente (energia do campo magnético. Quando o capacitor carrega é máximo, a corrente na bobina é zero (ver fórmulas 14.11 e 14.12 ), a energia do campo elétrico do capacitor é máxima, a energia do campo magnético da bobina é zero no momento em que a carga. do capacitor é zero, a corrente na bobina é máxima, a energia do campo elétrico do capacitor é zero, a energia do campo magnético da bobina é máxima no circuito oscilatório, a energia do campo elétrico é. convertida periodicamente na energia do campo magnético; a energia total do sistema permanece inalterada se não houver resistência ativa; R. Você pode escrever:

. (14.15)

Se, durante o processo de oscilação, forças de resistência externas atuam sobre um pêndulo matemático ou de mola, e há resistência ativa no circuito do circuito oscilatório R, a energia de oscilação e, portanto, a amplitude das oscilações diminuirão. Tais oscilações são chamadas oscilações amortecidas , A Figura 14.2 mostra um gráfico do valor flutuante de X em função do tempo.

§ 16. Corrente elétrica alternada.

Já conhecemos as fontes de corrente contínua, sabemos para que servem, conhecemos as leis da corrente contínua. Mas a corrente elétrica alternada, utilizada na vida cotidiana, na produção e em outras áreas da atividade humana, tem uma importância prática muito maior em nossas vidas. A intensidade da corrente e a tensão da corrente alternada (por exemplo, na rede de iluminação do nosso apartamento) mudam ao longo do tempo de acordo com uma lei harmônica. Frequência CA industrial – 50Hz. As fontes AC variam em seu design e características. Uma estrutura de arame girando em um campo magnético constante e uniforme pode ser considerada o modelo mais simples de um gerador de corrente alternada. Na Fig. 14.3 a estrutura gira em torno de um eixo vertical OO, perpendicular às linhas do campo magnético, com velocidade angular constante. Canto α entre o vetor e as mudanças normais de acordo com a lei, o fluxo magnético através da superfície S, limitado pelo quadro, muda com o tempo, uma fem induzida aparece no quadro.