Pretvorba energije med mehanskimi vibracijami. Proste in prisilne vibracije

Sčasoma se spreminja po sinusnem zakonu:

Kje X- vrednost nihajoče količine v trenutku t, A- amplituda, ω - krožna frekvenca, φ — začetna faza nihanj, ( φt + φ ) - polna faza nihanj. Hkrati pa vrednote A, ω in φ - trajno.

Za mehanske vibracije nihajoče velikosti X so zlasti premik in hitrost, za električne vibracije - napetost in tok.

Harmonična nihanja zavzemajo posebno mesto med vsemi vrstami nihanj, saj je to edina vrsta nihanj, katerih oblika se ne popači pri prehodu skozi kateri koli homogeni medij, to pomeni, da bodo valovi, ki se širijo iz vira harmoničnih nihanj, tudi harmonični. Vsako neharmonično nihanje lahko predstavimo kot vsoto (integral) različnih harmoničnih nihanj (v obliki spektra harmoničnih nihanj).

Transformacije energije med harmoničnimi vibracijami.

Med procesom nihanja pride do prenosa potencialne energije Wp na kinetično Td in obratno. V položaju največjega odstopanja od ravnotežnega položaja je potencialna energija največja, kinetična energija pa nič. Ko se vrača v ravnotežni položaj, se hitrost nihajnega telesa povečuje, s tem pa se povečuje tudi kinetična energija, ki v ravnotežnem položaju doseže največ. Potencialna energija pade na nič. Nadaljnje gibanje poteka z zmanjšanjem hitrosti, ki pade na nič, ko odklon doseže svoj drugi maksimum. Potencialna energija se tu poveča na začetno (največjo) vrednost (brez trenja). Tako se nihanja kinetične in potencialne energije pojavljajo z dvojno frekvenco (v primerjavi z nihanji samega nihala) in so v protifazi (tj. med njima je fazni zamik enak π ). Skupna energija vibracij W ostane nespremenjena. Za telo, ki niha pod vplivom prožnostne sile, je enako:

Kje v m— največja hitrost telesa (v ravnotežnem položaju), x m = A- amplituda.

Zaradi prisotnosti trenja in upora medija proste vibracije oslabijo: njihova energija in amplituda se sčasoma zmanjšata. Zato se v praksi pogosteje uporabljajo prisilna nihanja kot prosta.

Oglejmo si transformacijo energije med harmoničnimi nihanji v dveh primerih: v sistemu ni trenja; v sistemu je trenje.

Pretvorbe energije v sistemih brez trenja. S premikom kroglice, ki je pritrjena na vzmet (glej sliko 3.3), v desno za razdaljo x m, nihajočemu sistemu posredujemo potencialno energijo:

Ko se kroglica premakne v levo, postane deformacija vzmeti manjša, potencialna energija sistema pa se zmanjša. Toda hkrati se poveča hitrost in posledično poveča kinetična energija. V trenutku, ko kroglica preide ravnotežni položaj, postane potencialna energija nihajnega sistema enaka nič (W p = 0 pri x = 0). Kinetična energija doseže svoj maksimum.

Po prehodu ravnotežnega položaja začne hitrost žoge upadati. Posledično se zmanjša tudi kinetična energija. Potencialna energija sistema se ponovno poveča. Na skrajni levi točki doseže maksimum in kinetična energija postane nič. Tako med nihanjem občasno prihaja do prehoda potencialne energije v kinetično energijo in obratno. Ni težko ugotoviti, da se iste transformacije mehanske energije iz ene vrste v drugo zgodijo tudi pri matematičnem nihalu.

Celotna mehanska energija med nihanjem telesa, pritrjenega na vzmet, je enaka vsoti kinetične in potencialne energije nihajnega sistema:

Kinetična in potencialna energija se periodično spreminjata. Toda celotna mehanska energija izoliranega sistema, v katerem ni uporovnih sil, ostane (po zakonu o ohranitvi mehanske energije) nespremenjena. Enaka je bodisi potencialni energiji v trenutku največjega odstopanja od ravnotežnega položaja bodisi kinetični energiji v trenutku, ko telo prečka ravnotežni položaj:

Energija nihajočega telesa je premo sorazmerna s kvadratom amplitude koordinatnega nihanja ali kvadratom amplitude nihanja hitrosti (glej formulo (3.26)).

Prosta nihanja mase, pritrjene na vzmet ali nihalo, so harmonična le, če ni trenja. Toda sile trenja ali, natančneje, sile upora okolja, čeprav morda majhne, ​​vedno delujejo na nihajoče telo.

Uporne sile opravljajo negativno delo in s tem zmanjšujejo mehansko energijo sistema. Zato so sčasoma največji odmiki telesa od ravnotežnega položaja vedno manjši. Sčasoma, ko se zaloga mehanske energije izčrpa, se nihanja popolnoma ustavijo. Nihanja ob prisotnosti uporovnih sil so bledenje.

Graf odvisnosti koordinate telesa od časa pri dušenem nihanju je prikazan na sliki 3.10. Podoben graf lahko nariše tudi samo nihajoče telo, na primer nihalo.

Slika 3.11 prikazuje nihalo s peskovnikom. Nihalo na listu kartona, ki se enakomerno premika pod njim, nariše graf svojih koordinat v odvisnosti od časa s curkom peska. To je preprosta metoda časovnega pometanja nihanj, ki daje dokaj popolno sliko procesa nihanja. Pri nizkem uporu je dušenje nihanj v več obdobjih majhno. Če na obešalne niti pritrdite list debelega papirja, da povečate silo upora, bo dušenje postalo znatno.

Avtomobili uporabljajo posebne amortizerje za blaženje tresljajev karoserije med vožnjo po neravnih cestah. Ko telo niha, se pripadajoči bat premika v valju, napolnjenem s tekočino. Tekočina teče skozi luknje v batu, kar vodi do pojava velikih upornih sil in hitrega slabljenja tresljajev.

Energija nihajočega telesa ob odsotnosti tornih sil ostane nespremenjena.

Če na telesa sistema delujejo sile upora, so nihanja dušena.

Matematično nihalo je materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki se nahaja v gravitacijskem polju Zemlje. Matematično nihalo je idealiziran model, ki pravilno opiše pravo nihalo le pod določenimi pogoji. Pravo nihalo se lahko šteje za matematično, če je dolžina niti veliko večja od velikosti telesa, ki visi na njej, masa niti je zanemarljiva v primerjavi z maso telesa in so deformacije niti tako majhne da jih je mogoče povsem zanemariti.

Nihajni sistem v tem primeru tvorijo nit, nanjo pritrjeno telo in Zemlja, brez katere ta sistem ne bi mogel služiti kot nihalo.

Kje A X – pospešek, g - gravitacijski pospešek, X- premik, l– dolžina niti nihala.

Ta enačba se imenuje enačba prostih nihanj matematičnega nihala. Pravilno opisuje zadevne vibracije le, če so izpolnjene naslednje predpostavke:

2) upoštevana so le majhna nihanja nihala z majhnim kotom nihanja.

Proste vibracije katerega koli sistema so v vseh primerih opisane s podobnimi enačbami.

Vzroki za prosta nihanja matematičnega nihala so:

1. Delovanje napetosti in gravitacije na nihalo, ki preprečuje, da bi se premaknilo iz ravnotežnega položaja in ga prisili, da ponovno pade.

2. Vztrajnost nihala, zaradi katere se ob ohranjanju hitrosti ne ustavi v ravnotežnem položaju, ampak gre skozi njega naprej.

Perioda prostih nihanj matematičnega nihala

Perioda prostega nihanja matematičnega nihala ni odvisna od njegove mase, ampak je določena le z dolžino niti in gravitacijskim pospeškom na mestu, kjer se nahaja nihalo.

Pretvorba energije med harmoničnimi nihanji

Pri harmoničnem nihanju vzmetnega nihala se potencialna energija elastično deformiranega telesa pretvori v njegovo kinetično energijo, kjer k – koeficient elastičnosti, X - modul odmika nihala iz ravnotežnega položaja, m- masa nihala, v- njegova hitrost. Glede na enačbo harmoničnih vibracij:

, .

Skupna energija vzmetnega nihala:

.

Skupna energija za matematično nihalo:

V primeru matematičnega nihala

Transformacije energije med nihanjem vzmetnega nihala potekajo v skladu z zakonom o ohranitvi mehanske energije ( ). Ko se nihalo premakne navzdol ali navzgor iz ravnotežnega položaja, se njegova potencialna energija poveča, kinetična energija pa zmanjša. Ko nihalo prečka ravnotežni položaj ( X= 0), je njegova potencialna energija enaka nič, kinetična energija nihala pa ima največjo vrednost, ki je enaka njegovi celotni energiji.

Tako se v procesu prostih nihanj nihala njegova potencialna energija spremeni v kinetično, kinetična v potencialno, potencialna nato spet v kinetično itd. Celotna mehanska energija pa ostane nespremenjena.

Prisilne vibracije. Resonanca.

Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile prisilna nihanja. Zunanja periodična sila, imenovana gonilna sila, daje oscilacijskemu sistemu dodatno energijo, ki se porabi za dopolnitev izgub energije, ki nastanejo zaradi trenja. Če se gonilna sila skozi čas spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa, bodo prisilna nihanja harmonična in nedušena.

Za razliko od prostih nihanj, ko sistem prejme energijo samo enkrat (ko je sistem spravljen iz ravnovesja), pri prisilnih nihanjih sistem to energijo neprekinjeno absorbira iz vira zunanje periodične sile. Ta energija nadomesti izgube, porabljene za premagovanje trenja, zato skupna energija nihajnega sistema ostane nespremenjena.

Frekvenca prisilnih nihanj je enaka frekvenci pogonske sile. V primeru, da je frekvenca pogonske sile υ sovpada z lastno frekvenco nihajnega sistema υ 0 , močno se poveča amplituda prisilnih nihanj - resonanca. Resonanca nastane zaradi tega, ko υ = υ 0 zunanja sila, ki deluje sočasno s prostimi nihaji, je vedno usklajena s hitrostjo nihajnega telesa in opravlja pozitivno delo: energija nihajnega telesa se poveča, amplituda njegovih nihajev pa postane velika. Graf amplitude prisilnih nihanj A T na frekvenco pogonske sile υ prikazan na sliki, se ta graf imenuje resonančna krivulja:

Pojav resonance igra pomembno vlogo v številnih naravnih, znanstvenih in industrijskih procesih. Na primer, pri načrtovanju mostov, zgradb in drugih konstrukcij, ki pod obremenitvijo doživljajo tresljaje, je treba upoštevati pojav resonance, sicer se lahko pod določenimi pogoji te strukture uničijo.

Oglejmo si transformacijo energije med harmoničnimi nihanji za dva primera: v sistemu ni trenja; V sistemu je trenje. Pretvorba energije v sistemih brez trenja. S premikanjem krogle, pritrjene na vzmet, v desno za razdaljo xm, nihajočemu sistemu predamo zalogo potencialne energije: Ko se kroglica premakne v levo, postane deformacija vzmeti manjša in potencialna energija se zmanjša. Toda hkrati se poveča hitrost in posledično poveča kinetična energija. V trenutku, ko žogica prečka ravnotežni položaj, postane potencialna energija minimalna. Kinetična energija doseže svoj maksimum. Po prehodu ravnotežnega položaja se hitrost začne zmanjševati. Posledično se zmanjša tudi kinetična energija. Potencialna energija se ponovno poveča. Na skrajni levi točki doseže maksimum in kinetična energija postane nič. Tako med nihanjem občasno prihaja do prehoda potencialne energije v kinetično energijo in obratno. Enako lahko opazimo pri nihanju nihala. Skupna mehanska energija med nihanjem telesa, pritrjenega na vzmet, je enaka vsoti kinetične in potencialne energije: Kinetična in potencialna energija se periodično spreminjata. Toda celotna mehanska energija zaprtega sistema, v katerem ni uporovnih sil, ostane nespremenjena po zakonu o ohranitvi energije. Enaka je bodisi potencialni energiji v trenutku največjega odstopanja od ravnotežnega položaja bodisi kinetični energiji v trenutku, ko telo prečka ravnotežni položaj: Energija nihajočega telesa je premo sorazmerna s kvadratom amplitude koordinatna nihanja ali kvadrat amplitude nihanja hitrosti Dušena nihanja. Prosta nihanja mase, pritrjene na vzmet ali nihalo, so harmonična le, če ni trenja. Toda sile trenja ali, natančneje, sile. upor, čeprav morda majhen, vedno deluje na nihajoče telo. Uporne sile opravljajo negativno delo in s tem zmanjšujejo mehansko energijo sistema. Zato so sčasoma največji odmiki telesa od ravnotežnega položaja vedno manjši. Sčasoma, ko se zaloga mehanske energije izčrpa, se nihanja popolnoma ustavijo. Nihanja ob prisotnosti uporovnih sil se dušijo. Graf odvisnosti koordinat telesa od časa pri dušenem nihanju je prikazan na sliki 63. Podoben graf lahko nariše tudi nihajoče telo samo, na primer nihalo. Slika 64 prikazuje nihalo s peskovnikom. Nihalo na listu kartona, ki se enakomerno premika pod njim, s curkom peska riše graf koordinat v odvisnosti od časa. To je preprosta metoda časovnega pometanja nihanj, ki daje zelo popolno sliko procesa nihajnega gibanja. Pri nizkem uporu je dušenje nihanj v več obdobjih majhno. Če na obešalne niti pritrdite list debelega papirja, da povečate silo upora, bo dušenje postalo znatno. Avtomobili uporabljajo posebne amortizerje za blaženje tresljajev karoserije na vzmeti pri vožnji po neravnih cestah. Ko telo niha, se pripadajoči bat premika v valju, napolnjenem s tekočino. Tekočina teče skozi luknje v batu, kar vodi do pojava velikih upornih sil in hitrega slabljenja tresljajev. Energija nihajočega telesa ob odsotnosti tornih sil ostane nespremenjena. Če v sistemu obstajajo sile upora, so nihanja dušena.

Transformacije energije med harmoničnimi vibracijami.

Ko matematično nihalo niha, je celotna energija sistema sestavljena iz kinetične energije materialne točke (krogle) in potencialne energije materialne točke v polju gravitacijskih sil. Pri nihanju vzmetnega nihala je skupna energija sestavljena iz kinetične energije kroglice in potencialne energije elastične deformacije vzmeti:

Pri prehodu skozi ravnotežni položaj tako pri prvem kot pri drugem nihalu doseže kinetična energija kroglice največjo vrednost, potencialna energija sistema pa je enaka nič. Med nihanjem se pojavi periodična transformacija kinetične energije v potencialno energijo sistema, pri čemer celotna energija sistema ostane nespremenjena, če ni uporovnih sil (zakon o ohranitvi mehanske energije). Na primer, za vzmetno nihalo lahko zapišemo:

V oscilacijskem krogu (slika 14.1.c) je skupna energija sistema vsota energije nabitega kondenzatorja (energija električnega polja) in energije tuljave s tokom (energija magnetnega polja. Ko se kondenzator napolni je največja, tok v tuljavi je nič (glej formuli 14.11 in 14.12), energija električnega polja kondenzatorja je največja, energija magnetnega polja tuljave je nič. V trenutku, ko je naboj kondenzatorja enaka nič, tok v tuljavi je največji, energija električnega polja kondenzatorja je enaka nič, energija magnetnega polja tuljave je največja Tako kot pri mehanskih oscilatorjih je tudi v nihajnem krogu energija električnega polja se periodično pretvarja v energijo magnetnega polja; celotna energija sistema ostane nespremenjena, če ni aktivnega upora R. Lahko napišete:

. (14.15)

Če med procesom nihanja na matematično ali vzmetno nihalo delujejo zunanje sile upora in je v nihajnem krogu aktiven upor R, se bo energija nihanja in s tem amplituda nihanja zmanjšala. Takšna nihanja imenujemo dušena nihanja Slika 14.2 prikazuje graf nihanja vrednosti X v odvisnosti od časa.

§ 16. Izmenični električni tok.

Enosmerne vire že poznamo, vemo za kaj jih potrebujemo, poznamo zakonitosti enosmernega toka. Toda izmenični električni tok, ki se uporablja v vsakdanjem življenju, v proizvodnji in na drugih področjih človeške dejavnosti, ima veliko večji praktični pomen v našem življenju. Trenutna jakost in napetost izmeničnega toka (na primer v omrežju razsvetljave našega stanovanja) se s časom spreminjata po harmoničnem zakonu. Industrijska AC frekvenca – 50Hz. Viri izmeničnega toka se razlikujejo po svoji zasnovi in ​​značilnostih. Žični okvir, ki se vrti v konstantnem enakomernem magnetnem polju, lahko štejemo za najpreprostejši model generatorja izmeničnega toka. Na sliki 14.3 se okvir vrti okoli navpične osi OO, pravokotno na magnetne silnice, s konstantno kotno hitrostjo. Kotiček α med vektorjem in normalo se po zakonu spreminja magnetni pretok skozi površino S, omejen z okvirjem, se s časom spreminja, v okvirju se pojavi inducirana emf.